KAREKÖKÜ: MATEMATİK TARİHİNİN GELİŞİMİ

Bu yazımda sizlere kendi hazırladığım “karekökü” isimli dergimin Mart 2014 sayısından Matematik tarihinin gelişimi ve matematiğin tarihsel gelişimini; Ortaçağ, Yeniçağ ve Yakınçağ olarak anlattığım yazımı paylaşacağım. Hint matematikçilerin bazı eserlerinden bahsedeceğim. Ve son olarak ikiz asal sayılar hakkında bilgiler vereceğim. Umarım yazımı beğenirsiniz ve sizlerle dergimden kalan bölümleri de paylaşabilirim. İyi okumalar.

Matematiğin Tarihi Gelişimi: Ortaçağ

Başta aritmetik olmak üzere, matematiğin geometri, cebir ve trigonometri gibi dallarına önemli katkılar veren çok sayıda matematikçi İslâm Dünyası’nda bulunmaktadır. Ancak bu dönemde gerçekleşen gelişmelerden en önemlisi, geleneksel Ebced Rakamları’nın yerine Hintlilerden öğrenilen Hint Rakamları’nın kullanılmaya başlanmasıdır. Konumsal Hint rakamları, 8. yüzyılda İslâm Dünyası’na girmiş ve hesaplama işlemini kolaylaştırdığı için matematik alanında büyük bir atılımın gerçekleştirilmesine neden olmuştur.

Daha önce Arap alfabesinin harflerinden oluşan harf rakam sistemi kullanılmaktaydı ve bu sistemde sayılar, sabit değerler alan harflerle gösteriliyordu. Örneğin 1 için “a” harfi, 10 için “b” harfi ve 100 içinse “c” harfi kullanılmaktaydı. Anlaşılacağı gibi sistem konumsal anlam taşımamaktaydı. Bu şekilde bir rakamsal sistem ile işlem yapmak son derece güçtü. Erken tarihlerden itibaren ticaretle uğraşanların ve aritmetikçilerin kullanmaya başladıkları Hint Rakamları’nın üstünlüğü kısa sürede görülmüştür. Ardından yaygın şekilde kabul görmüştür. Bu rakamlar ilerleyen zamanlarda Batı’ya ulaşıp Roma Rakamları’nın yerini alacaktır. Cebir bilimi İslam Dünyası matematikçilerinin elinde bağımsız bir disiplin kimliği kazanmıştır. Batı özellikle Harizmi, Ebu Kamil, Kereci ve Ömer el-Hayyam gibi metamatikçilerin yapıtlarından büyük ölçüde etkilenmiştir. İslam Dünyası’nda önem verilen bir diğer bilim de astronomidir. Büyük ilgi gören ve geliştirilen bir bilim olan astronomideki araştırmalara yardımcı olmak adına trigonometri alanında da özel çalışmalar yapılmıştır. Bu konudaki en önemli katkı, açı hesaplamalarında kirişler yerine sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant gibi trigonomik fonksitonların kullanılması gösterilebilir.

Matematiğin Tarihi Gelişimi: Yeniçağ

Yeniçağ matemak alanında yeniden bir uyanışın gerçekleştiği dönemdir. Özellikle trigonometri ve cebir alanlarında ciddi çalışamalar yapılmış ve ilerleme gösterilmiştir. Sırası ile Regiomontanus, Rhaeticus ve Bartholomaeus trigonometri alanında pek çok çalışma yapmış ve trigonometrinin gelişiminde büyük rol oynamıştır. Scipione del Ferro, Nicola Tartaglia, Geronimo Cardano ve Lodovice Ferrari ise cebir konuları üzerinde çalışmış pek çok konuya ışık tutarak bir nevi cebiri yeniden hayata döndürmüştür. İsmi geçen kişiler günümüzde kullandığımıza benzer denklem biçimleri ortaya çıkartmıştır. Geliştirilen işlem simgeleri bazı denklemlerde benzer şekillerde kullanılmaktadır. Bu gelişmeler, denklem kuramının biçimlenmesini sağlamıştır. Rönesans matematiğinde Raffaello Bombelli, François Viète ve Simon Stevin öncülüğünde doruk noktaya ulaşılmıştır. 1585 yılında, Stevin, aşağı yukarı Takîyüddîn ile aynı anda ondalık kesirleri kullanmıştır.Bu dönemde çağdaş matematiğin temelleri atılmış ve Pierre de Fermat sayılar kuramını, Pascal olasılık kuramını, Leibniz ve Newton ise diferansiyel ve integral hesabı kurmuşlardır.

Matematiğin Tarihi Gelişimi: Yakınçağ

Yakınçağ matematiğin tarihi gelişimi adına büyük atılım çağı olarak adlandırılabilir. Euler ve Lagrange, integral ve diferansiyel hesabına ilişkin 17. yüzyılda başlayan çalışmaları sürdürmüştür. Gök mekaniğinde bu çalışmaların uygulanması ile birlikte fizik ve astronomi alanlarında büyük bir aşama kat edilmiştir. Üç Cisim Problemi’nin ilk özel çözümleri yakınçağda Lagrange tarafından verilmiştir.

Bu dönemde matematiğe daha sağlam bir temel oluşturmaya yönelik felsefi ağırlıklı çalışmalar genişleyerek devam etmiştir. Russell, Poincaré, Hilbert ve Brouwer gibi matematikçiler, bu konudaki görüşleriyle katkıda bulunmuşlardır.Russell, matematik ile mantığın özdeş olduğunu kanıtlamaya çalışmıştır. Matematiğin, sayı gibi kavramlarını, toplama ve çıkarma gibi işlemlerini, küme, değilleme, veya, ise gibi mantık terimleriyle ve matematiği ise “p ise q” biçimindeki önermeler kümesiyle tanımlamıştır.

Hilbert’e göre ise, matematik soyut nesneleri konu alan simgesel bir sistemdir; mantığa indirgenerek değil, simgesel aksiyomatik bir yapıya dönüştürülerek temellendirilmelidir.

Hint Matematikçilerin Bazı Eserleri

Problem: İki karenin alanına eşit alanı bulunan karenin elde edilmesi.
Açıklama: ABCD ve PQRS herhangi iki kare olsun. PQ üzerinde X noktası AB=PX olacak şekilde seçilir. Böylece, kenarı SX olan karenin alanı ABCD ve PQRS karelerinin alanlarının toplamına eşit olur. Pisagor bağıntısına göre; SX=PX+PS olduğu ve böylece istenen karenin elde edildiği açıklar.
Problem: Bir dörtgenin köşegeni boyunca uzanan bir ip, dik ve yatay kenarların birlikte oluşturduğu toplam alan kadar, alan oluştutur. Pisagor bağıntısına göre; DB² = AB² + AD²

Tam kare olmayan bir sayının kare kökünü bulmak.

İkiz Asal Sayılar

Aralarındaki fark 2 olan asal sayılara ikiz asal sayılar denir. (örneğin 3 ve 5, 5 ve 7, 11 ve 13 .. ikiz asallardır.) (2, 3) çifti hariç iki asal sayının arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir. İkiz asalların sonsuz sayıda olmasına ilişkin soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve “ikiz asallar sanısı” (varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. 3’ten büyük her ikiz asal sayı çifti, bazı n doğal sayıları için, (6n-1 , 6n +1) şeklinde ifade edilir. Öyleki n, 1’e eşit değildir ve 0, 2, 3, 5, 7 veya 8 ile sonlanmak zorundadır.

İlk 35 ikiz asal sayı çifti:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)